Lic. Julio Rodríguez,  M.Sc. Alcides Astorga

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Operaciones con intervalos

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos.

Debido a su gran utilidad en este Capítulo, las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la unión y la diferencia de conjuntos.

	Definición
	Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se define la intersección de $A$ y $B$ y se denota $A \cap B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen a $A$ y también a $B$. Simbólicamente se tiene que:

Ejemplo

Si y . Determine $A \cap B$

Solución

Los elementos que están en $A$ y también en $B$ son: 4 y 5.
Por lo tanto:

$${A \cap B} = \{4,5 \}$$

Ejemplo

Si $A = [0,5] \; \;$ y $B = [2,7]$.  Determine $A \cap B$

Solución

Geométricamente podemos representar los conjuntos $A$ y $B$ de la manera siguiente:

 

De aquí podemos observar que los elementos que están en $A$ y también en $B$ son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:

$$A \cap B = [0,5] \cap [2,7] = [2,5] \; \; \mbox{ o sea: } \; \; A \cap B = [2,5]$$

Ejemplo

Si $A = [-2,3]\; \;$ y $\; \; B = \{-2,3 \}$Determine $A \cap B$

Solución  

Geométricamente podemos representar a los conjuntos $A$ y $B$ de la siguiente manera:

De aquí observamos que los únicos elementos que están en $A$ y también en $B$ son -2 y 3; por lo que:

$$A \cap B = [-2,3] \cap \{-2,3 \} = \{-2,3 \} \; \; \mbox{ o sea } \; \; A \cap B = \{-2,3 \}$$

Ejemplo

Si $A = ]-3,4[ \; \;$ y $B = \{-3,4 \}$.Determine $A \cap B$

Solución  

 

Como podemos observar $A$ y $B$ no tienen elementos comunes por lo que:

$$A \cap B = \; \; ]-3,4[ \; \; \cap \; \; \{-3,4 \} \; \; = \; \emptyset$$

Ejercicio

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A \cap B$.

1. $A = \; [2,5]\;$; $\; \; \; B = [-1,3[$
   

2. $A = \; [2,+\infty[\;$; $\; \; \; B = \; \; ]-\infty,5[$
   

3. $A = [-3,11[\; \;$; $\; \; \; B = \{6,11 \}$
   

4. ;
   

 

	Definición
	Sean $A$ y $B$ y conjuntos. Se define la unión de $A$ y $B$ y se denota $A \cup B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos $A$ y $B$. Simbólicamente se tiene que: $A \cup B = \{x/x \in A \; \; \mbox{ o }\; \; x \in B \}$

Ejemplo

Si $A = \{1,2,3,4,5 \} \; \;$ y $\; \;B = \{4,5,6 \}$. Determine $A \cup B$

Solución

$A \cup B \; = \; \{1,2,3,4,5 \} \; \;\; \cup \; \; \{4,5,6 \} \; = \;\{1,2,3,4,5,6\} \;\; \mbox{ o sea } \; A \cup B = \; \{1,2,3,4,5,6\}$

Ejemplo

Si $A = [-3,4]\; \;$ y $\; \; B = [-1,7]$.Determine $A \cup B$

Solución

Representaremos a $A$ y a $B$ geométricamente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en $A$ o en $B$, son los números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:

$$A \cup B = \; [-3,4] \; \; \cup \; \; [-1,7] \; = \; [3,7]\; \; \mbox{ o sea } \; \; A \cup B = \; [3,7]$$

Ejemplo

Si $A = \; ]-\infty,2[ \; \;$ y $\; \; B = \{-2,2 \}$. Determine $A \cup B$

Solución

Representaremos a $A$ y a $B$ geométricamente:

 

De aquí observamos que: $\; A \cup B = \; ]-\infty,2[ \; \; \; \cup \; \; \{-2,2\} \; = \;\; ]-\infty,2]$

Ejemplo

Si $A = \;\; ]-3,5[ \; \;$ y $\; \; B = \{3,4,5,6,7,8\}$. Determine $A \cup B$

Solución

Representemos a $A$ y a $B$ geométricamente:

De aquí observamos que: $\; \; A \cup B = \; \; ]-3,5] \; \cup \; \{6,7,8\}$

Ejemplo   

Si $A = \; ]-4,2[ \; \;$ y $\; \; B = ]5,+\infty[$. Determine $A \cup B$

Solución

Representaremos a $A$ y a $B$ geométricamente:

 

 

De aquí observamos que: $\; A \cup B = \; ]-4,2[ \; \; \; \cup \; \; ]5,+\infty[$

Geométricamente podemos representar $\; A \cup B$ así:

 

 

Ejercicios  

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A \cup B$ y represente geométricamente los conjuntos A, B y $A \cup B$.

1. $A = \; [-2,5]\;$ $\; \; \; B = ]0,7[$
   
2. $A = \;]-5,3]\;$ $\; \; \; B = \{-5,0,5,10\}$
   
3. $A = \;]-\infty,-1[\; \;$ $\; \; B = ]2,+\infty[$
   
4. $A = \;]-\infty,3[\; \;$ $\; \; B = ]3,+\infty[$
   
5. $A = \;[3,5[\;$ $\; \; \; B = \{8,10\}$
   
6. $A = \;]-\infty,2[\; \;$ $\; \; B = ]0,+\infty[$
   

	Definición
	Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se define la diferencia de $A$ y $B$ y se denota $A - B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen a $A$ y no a $B$.

 

Ejemplo   

Si $A = \; \{2,4,6,8,10 \} \; \;$ y $\; \; B = \{1,2,3,4,5 \}$. Determine $A - B$ y $B - A$

Solución

i. Los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B son $6,8,10$; por lo que $A - B = \{6,8,10\}$

ii. Los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A son $1,3,5$; por lo que $B - A = \{1,3,5\}$

Ejemplo  

Si $A = \; [-3,5] \; \;$ y $\; \; B = \{5 \}$, determine $A - B$

Solución

$A - B = [-3,5] - \{5\} = [-3,5[$ o sea: $A - B = [-3,5[$

Ejemplo   

Si $A = \;\mathbb{R}\; \;$ y $\; \; B = [-2,3[$, determine $A - B$ y $B - A$

Solución

Representemos a $A$ y a $B$ geométricamente.

 

 

De aquí podemos observar que:

i. $\; A - B =\;\; \mathbb{R}- [-2,3[\;\; =\;\; ]-\infty,-2[\;\; \cup \;\;[3,+\infty[$
$A - B =\;\; ]-\infty,-2[\;\; \cup \;\;[3,+\infty[$

ii. $B - A = [-2,3[ - \mathbb{R}= \emptyset$; o sea: $B - A = \emptyset$

Ejercicios  

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A - B$ y $B - A$.

1. $A = \; [-10,7]\;$; $\; \; \; B = \{-10,7\}$
   
2. $A = \; ]-\infty,3]\;$; $\; \; \; B = \; \; \{0,3,5\}$
   
3. $A = \mathbb{R}\; \;$; $\; \; \; B = ]-5,9[$
   
4. $A = \; ]-2,6[\;$; $\; \; \; B = [3,+\infty[$
   
5. $A = \; ]-\infty,2[\;$; $\; \; \; B = \; \; ]-3,+\infty[$
   

Inecuaciones

	Definición
	Sean $a$ y $b$ representan expresiones algebraicas en el conjunto de los números reales entonces expresiones como: $a<b$, $a \leq b$, $a>b$ y $a \geq b$ reciben el nombre de desigualdades o inecuaciones  y se dice que a y b son los miembros de la desigualdad.

Ejemplos

a.

$50 > 22$

b.

$${\frac{5}{2} \geq -2 }$$

c.

$${3 < \sqrt{24}}$$

d.

$x + 2 \geq 5$

e.

$x \leq y$

f.

$x + 3 < y - 5$

	Definición
	Una desigualdad entre dos expresiones algebraica donde al menos una de ellas involucra variables, recibe el nombre de inecuación.

 

Ejemplos

a.

$x + 2 \geq 5$

b.

$x * y+ z \leq x + 3$

c.

$${\frac{x+y}{x-y} > 1}$$

d.

$${ \sqrt{5x-2} < 3}$$

e.

$x + y < -3x-y$

d.

$${ a^{3}-1 \geq 0}$$

	Definición
	En una inecuación las variables involucradas reciben el nombre de incógnitas

	Definición
	Si la inecuación involucra n variables, se dice que es una inecuación con n incógnitas. A continuación nuestro objetivo es estudiar, analizar y resolver inecuaciones con una incógnita.

 

 

	Definición
	En una inecuación con una incógnita, cualquier número real que esté contenido en el dominio de las incógnitas, y que al sustituirse por la incógnita en la inecuación hace que la desigualdad correspondiente sea verdadera, es una solución de la inecuación.

Ejemplos

a.

En $x+2 > 3$; si $x$ se sustituye por $5$, se obtiene una desigualdad verdadera: $5+2 > 3$; además $5$ pertenece al dominio de la incógnita, por lo que $5$ es una solución de la inecuación $x+2 > 3$.

b.

En $x^2 \geq 5$, si $x$ se sustituye por $-3$, se obtiene una desigualdad verdadera: $(-3)^2 \geq 5$; además $-3$ pertenece al dominio de la incógnita, por lo que $-3$ es una solución de la inecuación $x^2 \geq 5$.

c.

En $${\sqrt{x+2} < 2}$$; si $x$ se sustituye por $3$, se obtiene una desigualdad falsa: $${\sqrt{3+2} < 2}$$ por lo que $3$ no es una solución de la inejuación $${\sqrt{x+2} < 2}$$.

Ejercicios  

Para cada una de las siguientes inecuaciones, escriba 3 soluciones:

1.

$x+3 \leq -6$

2.

$${\frac{1}{x} > 7}$$

3.

$${\sqrt{x+3} \geq x}$$

4.

$${7 - x^{2} > 0}$$

	Definición
	Dada una inecuación de una incógnita, el subconjunto S del dominio de la incógnita, cuyos elementos son las soluciones de la inecuación dada, recibe el nombre de conjunto solución.

 

Ejemplos

a.

En $x > -3$, el dominio de la incógnita es $\mathbb{R}$, y esta desigualdad es verdadera únicamente para los valores de x mayores que $-3$; por lo que su conjunto solución es $]-3,+\infty[$ o sea:

$S= ]-3 , +\infty[$

b.

En $x^{2}-4 \leq 0$ el dominio de la incógnita es $\mathbb{R}$ y se puede demostrar que esta desigualdad es verdadera únicamente para los valores de x mayores o iguales que $-2$ y menores o iguales que $2$, por lo que su conjunto solución es $[-2,2]$ o sea:

$S= [-2,2]$

c.

En $x^{2}-2x-3 > 0$; el dominio de la incógnita es $\mathbb{R}$, y se puede demostrar que esta desigualdad es verdadera únicamente para los valores de x menores que $-1$ o mayores que $3$, por lo que su conjunto solucón es $]-\infty, -1[ \cup ]3, +\infty[$ o sea:
$S= ]-\infty, -1[ \cup ]3, +\infty[$

Convenio
Resolver una inecuación consiste en determinar su conjunto solución.

 

	Definición
	Diremos que dos inecuaciones con una incógnita son equivalente sí y solo sí, tienen el mismo dominio de la incógnita y el mismo conjunto solución.

 

Ejemplos

a.

El conjunto solución de $x \geq 3$ es $[3, +\infty[$
El conjunto solución de $3x \geq 6$ es $[3, +\infty[$
como las inecuaciones $x \geq 3$ y $3x \geq 6$ tienen el mismo conjunto solución , entonces son equivalentes entre sí.

b.

El conjunto solución de $x + 2 < 7$ es $]-\infty,5[$
El conjunto solución de $x < 5$ es $]-\infty,5[$
como las inecuaciones $x + 2 < 7$ y $x < 5$ tienen el mismo conjunto solución , entonces son equivalentes entre sí.

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