Lic. Julio Rodríguez,  M.Sc. Alcides Astorga

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Inecuaciones lineales con una incógnita

 

	Definición
	Sean $a$, $b$ y $c$ constantes reales con $a \neq 0$. Se llama inecuación lineal o inecuación de primer grado con una incógnita a toda inecuación que tenga alguna de las formas siguientes: $ax+b < c$, $ax+b \leq c$; $ax+b>c$ o $ax+b \geq c$

 

Para resolver algunas inecuaciones lineales usaremos el concepto de inecuaciones equivalentes. Para esto transformaremos la inecuación dada en otras equivalentes a la original, hasta obtener una inecuación de alguna de las formas: $x < c; x \leq c; x> c$ o $x \geq c$; donde x es la incógnita y c es una constante.

Algunas transformaciones que se pueden usar para obtener inecuaciones equivalentes entre sí.

1.

Permutación de miembros
Se pueden intercambiar los miembros de una inecuación de acuerdo con las propiedades siguientes.

Sean $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R}$

i.

$a < b \Rightarrow b > a$

ii.

$a \leq b \Rightarrow b \geq a$

iii.

$a > b \Rightarrow b < a$

iv.

$a \geq b \Rightarrow b \leq a$

Ejemplo

a.

$4 < x-2 \Rightarrow x-2 > 4$

b.

$8 \leq x+3 \Rightarrow x+3 \geq 8$

c.

$-3 > 2x+3 \Rightarrow 2x+3 < -3$

d.

$2x-1 \geq 3 \Rightarrow 3 \leq 2x-1$

Sumar una constante k a ambos miembros de la inecuación

Se puede sumar una constante k a ambos miembros de una inecuación de acuerdo con las propiedades siguientes.

Sean $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R}$, $k$ constante

i.

$a < b \Rightarrow a+b < b+k$

ii.

$a \leq b \Rightarrow a+k \leq b+k$

iii.

$a > b \Rightarrow a+k > b+k$

iv.

$a \geq b \Rightarrow a+k \geq a+k$

Por ejemplo

a.

$x+2 > -3 \Rightarrow x+2+(-2) > -3+(-2)$

b.

$2x-3 \leq 5 \Rightarrow 2x-3+3 \leq 5+3$

c.

$-2x+5 \geq 2 \Rightarrow -2x+5+(-5) \geq 2+(-5)$

d.

$x-3 < -7 \Rightarrow x-3+3 < -7+3$

Multiplicar por una constante k positiva ambos miembros de la inecuación

Se puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante k positiva de acuerdo con las propiedades siguientes.
Sean $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R}$, $k$ una constante positiva

i.

$a < b \Rightarrow ka < kb$

ii.

$a \leq b \Rightarrow ka \leq kb$

iii.

$a > b \Rightarrow ka > kb$

iv.

$a \geq b \Rightarrow ka \geq kb$

Ejemplo

a.

$${2x-4 \leq 6 \Rightarrow \frac{1}{2}\;(2x-4) \leq \frac{1}{2}*6}$$

b.

$${\frac{1}{4}\;x - \frac{1}{2} > 3 \Rightarrow 4\left(\frac{1}{4}\;x - \frac{1}{2}\right) > 4*3}$$

c.

$${3x+2 < 5 \Rightarrow 7(3x+2) < 7*5}$$

d.

$${\frac{1}{3}\;x + 7 \geq -3 \Rightarrow 6\left(\frac{1}{3}\;x + 7\right) \geq 6(-3)}$$

Multiplicar por una constante k negativa ambos miembros de la inecuación.

Se puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante k negativa de acuerdo con las propiedades siguientes.
Sean $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R}$, $k$ una constante negativa

i.

$a < b \Rightarrow ka > kb$

ii.

$a \leq b \Rightarrow ka \geq kb$

iii.

$a > b \Rightarrow ka < kb$

iv.

$a \geq b \Rightarrow ka \leq kb$

Ejemplo

a.

$${\frac{-1}{3}\;x < 7 \Rightarrow -3*\left(\frac{-1}{3}\;x\right) > -3*7}$$

b.

$${-2x \leq 5 \Rightarrow -11(-2x) \geq -11*5}$$

c.

$${-x+3 > 2 \Rightarrow -1(-x+3) < -1*2}$$

d.

$${\frac{-x}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} \geq 5 \Rightarrow -\sqrt{2}\left(\frac{-x}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\right) \leq -\sqrt{2}*5}$$

Observación

Para resolver inecuaciones, además de las transformaciones enunciadas e ilustradas anteriormente, se pueden aplicar propiedades y algoritmos de la adición y de la multiplicación definidas en $\mathbb{R}$ (conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc.)

Veamos algunos ejemplos los cuales se resuelven usando algunas de las transformaciones anteriores.

Ejemplo   

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones

a.

$x+3 < -2$

b.

$x-7 \leq 23$

c.

$2x+5 > 9$

d.

$3x-2 \geq -11$

e.

$-3x-5 \leq 13$

f.

$3-2x > -2$

Solución

a.

$x+3 < -2$

$x+3-3 < -2+-3$

$x+0 < -5$

$x < -5$

Por lo que el conjunto solución de $x+3 < -2$ es $]-\infty,-5[$

$.^..\; S = ]-\infty,-5[$

b.

$x-7 \leq 23$

$x-7+7 \leq 23+7$

$x+0 \leq 30$

$x \leq 30$

Por lo que el conjunto solución de $x-7 \leq 23$ es $]-\infty,30[$

$.^..\; S = ]-\infty,30[$

c.

$2x+5 > 9$

$2x+5+-5 > 9+-5$

$2x+0 > 4$

$2x > 4$

$${\frac{1}{2} * 2x > \frac{1}{2} *4}$$

$x > 2$

Por lo que el conjunto solución de $2x+5 > 9$ es $]2,+\infty[$

$.^..\; S = ]2,+\infty[$

d.

$3x-2 \geq -11$

$3x-2+2 \geq -11+2$

$3x+0 \geq -9$

$3x \geq -9$

$${\frac{1}{3} * 3x > \frac{1}{3} *-9}$$

$x \geq -3$

Por lo que el conjunto solución de $3x-2 \geq -11$ es $[-3,+\infty[$

$.^..\; S = [-3,+\infty[$

e.

$-3x-5 \leq 13$

$-3x-5+5 \leq 13+5$

$-3x+0 \leq 18$

$-3x \leq 18$

$${\frac{-1}{3} * -3x \geq \frac{-1}{3} *18}$$

$x \geq -6$

Por lo que el conjunto solución de $-3x-5 \leq 13$ es $[-6,+\infty[$

$.^..\; S = [-6,+\infty[$

f.

$3-2x > -2$

$-3+3-2x > -3-2$

$0-2x > -5$

$-2x > -5$

$${\frac{-1}{2} * -2x < \frac{-1}{2} *-5}$$

$${x < \frac{5}{2}}$$

Por lo que el conjunto solución de $3-2x > -2$ es $${\left]-\infty, \frac{5}{2}\right[}$$

$${.^..\; S = \left]-\infty, \frac{5}{2}\right[}$$

Nota

En el proceso de resolución de inecuaciones no es necesario indicar todas las transformaciones que se realicen, en las inecuaciones que resolveremos en adelante, omitiremos escribir algunas transformaciones.

Ejemplo   

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones

a.

$2x+3 > -5$

b.

$${\frac{-x}{3}-3 > 2}$$

c.

$5x-3 < 8x-2$

d.

$-2+4x \leq 5x-9$

e.

$${\frac{-x}{4}+2 > \frac{2x}{3} +7}$$

f.

$(x-1)(x+2) < x^{2}+3$

g.

$2x-3(x+1) \geq 3x$

h.

$2(x-3)+5 \geq -x$

i.

$${\frac{x-3}{4} -1 > \frac{x}{2}}$$

Solución

a.

$2x+3 > -5$

$2x > -5+-3$

$2x > -8$

$${x > \frac{1}{2} *-8}$$

$${x > -4}$$

Por lo que el conjunto solución de $2x+3 > -5$ es $${]-4,+\infty[}$$

$${.^..\; S = ]-4,+\infty[}$$

b.

$${\frac{-x}{3}-3 > 2}$$

$${\frac{-x}{3} > 2+3}$$

$${\frac{-x}{3} > 5}$$

$${x < -3*5}$$

$${x < -15}$$

Por lo que el conjunto solución de $${\frac{-x}{3}-3 > 2}$$ es $${\left]-\infty,-15\right[}$$

$${.^..\; S = \left]-\infty,-15\right[}$$

c.

$5x-3 < 8x-2$

$5x+-8x < -3+2$

$-3x < 1$

$${x > \frac{-1}{3}*1}$$

$${x > \frac{-1}{3}}$$

Por lo que el conjunto solución de $5x-3 < 8x-2$ es $${\left[\frac{-1}{3},+\infty\right[}$$

$${.^..\; S = \left[\frac{-1}{3},+\infty\right[}$$

d.

$-2+4x \leq 5x-9$

$4x+-5x \leq -9+2$

$-x \leq -7$

$${x \geq (-1)(-7)}$$

$x \geq 7$

Por lo que el conjunto solución de $-2+4x \leq 5x-9$ es $[7,+\infty[$

$.^..\; S = [7,+\infty[$

e.

$${\frac{-x}{4}+2 > \frac{2x}{3} +7}$$

$${\frac{-x}{4}- \frac{2x}{3} > 7-2}$$

$${\frac{-3x-8x}{12} > 5}$$

$-3x-8x > 12*5$

$-11x > 60$

$${x < \frac{-1}{11} *60}$$

$${x < \frac{-60}{11}}$$

Por lo que el conjunto solución de $${\frac{-x}{4}+2 > \frac{2x}{3} +7}$$ es $${\left]-\infty,\frac{-60}{11}\right[}$$

$.^..\; S = \displaystyle{\left]-\infty,\frac{-60}{11}\right[}$

f.

$(x-1)(x+2) < x^{2}+3$

$x^{2}+2x-x-2 < x^{2}+3$

$x^{2}+-x^{2}+2x-x < 3+2$

$x < 5$

Por lo que el conjunto solución de $(x-1)(x+2) < x^{2}+3$ es $]-\infty,5[$

$.^..\; S = ]-\infty,5[$

g.

$2x-3(x+1) \geq 3x$

$2x-3x-3 \geq 3x$

$2x-3x-3x \geq 3$

$-4x \geq 3$

$${x \leq \frac{-1}{4} *3}$$

$${x \leq \frac{-3}{4}}$$

Por lo que el conjunto solución de $2x-3(x+1) \geq 3x$ es $${\left]-\infty,\frac{-3}{4}\right]}$$

$.^..\; S = \displaystyle{\left]-\infty,\frac{-3}{4}\right]}$

h.

$2(x-3)+5 \geq -x$

$2x-6+5 \geq -x$

$2x+x \geq 6-5$

$3x \geq 1$

$${x \geq \frac{1}{3}}$$

Por lo que el conjunto solución de $2(x-3)+5 \geq -x$ es $${\left[\frac{1}{3},+\infty\right[}$$

$.^..\; S = \displaystyle{\left[\frac{1}{3},+\infty\right[}$

i.

$${\frac{x-3}{4} -1 > \frac{x}{2}}$$

$${\frac{x}{4} - \frac{3}{4} -1 > \frac{x}{2}}$$

$${\frac{x}{4} - \frac{x}{2} > \frac{3}{4} + 1}$$

$${\frac{2x-4x}{8} > \frac{7}{4}}$$

$${2x-4x > 8* \frac{7}{4}}$$

$${-2x > 14}$$

$${x < \frac{14}{2}}$$

$${x < 7}$$

Por lo que el conjunto solución de $${\frac{x-3}{4} -1 > \frac{x}{2}}$$ es $]-\infty,7]$

$.^..\; S =]-\infty,7]$

Ejercicios   

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1. $${-2x-\frac{5}{3} > \frac{x}{3}+10}$$
   

2. $${-3x-4 \leq \frac{x}{2}+ \frac{3}{2}}$$
   

3. $${x-(5x-1) -\frac{7-5x}{10} < 1}$$
   

4. $${-2x+5 > x+2}$$
   

5. $${\frac{x-3}{4} -1 > \frac{x}{2}}$$
   

6. $${-\frac{7x}{2} + 3 \leq \frac{3}{2}\,x}$$
   

En los ejemplos anteriores hemos resuelto inecuaciones en la cuales, después de haber realizado algunas transformaciones obtenemos una desigualdad de alguno de los tipos $x<c, x\leq c, x> c, x\geq c$, donde $''x''$ es la incógnita y $''c''$ es una constante real. Sin embargo al resolver inecuaciones, después de realizar ciertas transformaciones podemos obtener una desigualdad numérica de alguno de los tipos $a<c, a\leq c,a \geq c, a > c$, en estos casos el conjunto solución de estas inecuaciones se determina de acuerdo con las siguientes reglas.

Regla 1

Si en el proceso de resolución de una inecuación se obtiene una desigualdad numérica verdadera, entonces el conjunto solucón de de la inecuación original es el dominio de la incógnita.

Regla 2

Si en el proceso de resolución de una inecuación se obtiene una desigualdad numérica falsa, entonces el conjunto solucón de de la inecuación original es el conjunto vacío $(\emptyset)$.

Ejemplo

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones

a.

$x-3(x-1) < -2x+5$

b.

$(x-2)^{2} - x^{2} +4x \geq 0$

c.

$-2x+13 \leq 2(5-x)$

d.

$(x-3)(x+2) -(x^{2}-x+8) > 0$

Solución

a.

$x-3(x-1) < -2x+5$

$x-3x+3 < -2x+5$

$x-3x+2x+3 < 5$

$0x+3 < 5$

$3 < 5$

Como esta desigualdad es verdadera entonces el conjunto solución de $x-3(x-1) < -2x+5$ en el dominio de la incógnita, en este caso $\mathbb{R}$

b.

$(x-2)^{2} - x^{2} +4x \geq 0$

$x^{2}-4x+4 - x^{2} + 4x \geq 0$

$4 \geq 0$

Como esta desigualdad es verdadera entonces el conjunto solución de $(x-2)^{2} - x^{2} +4x \geq 0$ en el dominio de la incógnita, en este caso $\mathbb{R}$

c.

$-2x+13 \leq 2(5-x)$

$-2x+13 \leq 10-2x$

$-2x+2x+13 \leq 10$

$13 \leq 10$

Como esta desigualdad es falsa, entonces el conjunto solución de $-2x+13 \leq 2(5-x)$ es $\emptyset$

d.

$(x-3)(x+2) -(x^{2}-x+8) > 0$

$x^{2}+2x-3x-6-x^{2}+x-8 > 0$

$-14 > 0$

Como esta desigualdad es falsa, entonces el conjunto solución de $(x-3)(x+2) -(x^{2}-x+8) > 0$ es $\emptyset$

Ejercicios  

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1. $3x+5 < 20$
   

2. $x-5 \leq 2x-6$
   

3. $5x-2 > 3x-4$
   

4. $3-7x < 7(2-x)$
   

5. $${\frac{-3}{4}\;x+12 \geq 24}$$
   

6. $(x-1)^{2} -7 > (x-2)^{2}$
   

7. $(x-4)(x+5) < (x-3)(x-2)$
   

8. $(x-2)(x+2) \leq x^{2}-7$
   

9. $2x-1 < 4x-3$
   

10. $3-2x > 2x-5$
    

11. $x-2(x+3) \geq 5-x$
    

12. $x-5(x+2) \geq -2(2x+6)$
    

Inecuaciones en las que cada uno de sus miembros es o puede expresarse como un producto y el otro miembro es cero

Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la ley de signos de la multiplicación definida en el conjunto de los números reales, de acuerdo con las siguientes propiedades:

Sean $a \in \mathbb{R}$; $b \in \mathbb{R}$

1. $a*b > 0 \Rightarrow [(a >0$ y $b >0)$ o $(a<0$ y $b <0)]$

2. $a*b < 0 \Rightarrow [(a >0$ y $b <0)$ o $(a<0$ y $b >0)]$

Ejemplo   

Resuelva la siguiente inecuación: $(x+3)(x-2) < 0$

Solución

Aplicando la propiedad 2 anterior se tiene que:

$(x+3)(x-2) < 0 \Rightarrow [((x+3) > 0$ y $(x-2) <0)$ o $((x+3)<0$ y $(x-2) >0)]$

i.

Analicemos el caso $x+3 > 0$ y $x-2 < 0$

En este caso se tiene que:

$x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$ y $x-2 < 0 \Rightarrow x< 2$

$\Rightarrow S_1 = ]-3,+\infty[$ y $\Rightarrow S_2 = ]-\infty,2[$

$S_3 = S_1 \cap S_2 = ]-3,2[$

 

ii.

Analicemos el caso $x+3 < 0$ y $x-2 > 0$

En este caso se tiene que:

$x+3 < 0 \Rightarrow x < -3$ y $x-2 > 0 \Rightarrow x> 2$

$\Rightarrow S_4 = ]-\infty,-3[$ y $\Rightarrow S_5 = ]2,+\infty[$

$S_6 = S_4 \cap S_5 = \emptyset$

La solución final será igual a la unión de las soluciones obtenidas en los casos (i) y (ii)o sea:

$.^..S_F=]-3,2[$

Nota:

El procedimiento usado anteriormente para resolver inecuaciones de este tipo es un poco largo y tedioso, por esta razón es que preferimos resolver este tipo de inecuaciones por medio de una "tabla de signos", en la cual usaremos dos resultados generales que se enunciaran posteriormente, pero antes resolveremos algunos ejemplos que son casos particulares de dichos resultados.

Ejemplo 

Para cada uno de los casos siguientes determine el intervalo en donde la expresión dada es positiva, y el intervalo en donde dicha expresión es negativa.

a.

$2x+3$

b.

$-x+3$

c.

$-3x-2$

d.

$x+5$

Solución

a.

$2x+3$

i.

$2x+3$ es positiva si y sólo sí:

$2x+3 > 0$

$2x > -3$

$${x > \frac{-3}{2}}$$

o sea:

$2x+3$ es positiva si y sólo sí:

$x \in\; \displaystyle{\left]\frac{-3}{2}, +\infty\right[}$

ii.

$2x+3$ es negativa si y sólo sí:

$2x+3 < 0$

$2x < -3$

$${x < \frac{-3}{2}}$$

o sea:

$2x+3$ es negativa si y sólo sí:

$x \in\; \displaystyle{\left]-\infty, \frac{-3}{2}\right[}$

En forma resumida se tiene:

b.

$-x+3$

i.

$-x+3$ es positiva si y sólo sí:

$-x+3 > 0$

$-x > -3$

$${x < 3}$$

o sea:

$-x+3$ es positiva si y sólo sí:

$x \in\; ]-\infty, 3[$

ii.

$2x+3$ es negativa si y sólo sí:

$-x+3 < 0$

$-x < -3$

$x >3$

o sea:

$-x+3$ es negativa si y sólo sí:

$x \in\; ]3,+\infty[$

En forma resumida se tiene:

 

c.

$-3x-2$

i.

$-3x-2$ es positiva si y sólo sí:

$-3x-2 > 0$

$-3x > 2$

$${x < \frac{-2}{3}}$$

o sea:

$-3x-2$ es positiva si y sólo sí:

$x \in\; \displaystyle{\left]-\infty, \frac{-2}{3}\right[}$

ii.

$-3x-2$ es negativa si y sólo sí:

$-3x-2 < 0$

$-3x < 2$

$${x > \frac{-2}{3}}$$

o sea:

$-3x-2$ es negativa si y sólo sí:

$x \in\; \displaystyle{\left]\frac{-2}{3},+\infty \right[}$

En forma resumida se tiene:

d.

$x+5$

i.

$x+5$ es positiva si y sólo sí:

$x+5 > 0$

$x > -5$

o sea:

$x+5$ es positiva si y sólo sí:

$x \in\; ]-5,+\infty[$

ii.

$x+5$ es negativa si y sólo sí:

$x+5 < 0$

$x < -5$

o sea:

$x+5$ es negativa si y sólo sí:

$x \in\; ]-\infty,-5[$

En forma resumida se tiene:

Resultado 1

Si a y b son constantes reales tales que $a>0$, y x es variable real, entonces se cumple que:

i.

$${ax+b > 0 \Leftrightarrow x > \frac{-b}{a}}$$

$${\left(ax+b\;\; \mbox{es positivo si y s\'olo s\'i}\; x\;\; \mbox{es mayor que}\; \frac{-b}{a}\right)}$$

ii.

$${ax+b < 0 \Leftrightarrow x < \frac{-b}{a}}$$

$${\left(ax+b\;\; \mbox{es negativo si y s\'olo s\'i}\; x\;\; \mbox{es menor que}\; \frac{-b}{a}\right)}$$

En forma resumida podemos expresar este resultado en la "tabla" siguiente:

Resultado 2

Si $a$ y $b$ son constantes reales tales que $a<0$, y $x$ es variable real, entonces se cumple que:

i.

$${ax+b > 0 \Leftrightarrow x < \frac{-b}{a}}$$ $\; \; \; \; \displaystyle{\left(ax+b\;\; \mbox{es positivo si y s\'olo s\'i}\; x\;\; \mbox{es menor que}\; \frac{-b}{a}\right)}$

ii.

$${ax+b < 0 \Leftrightarrow x > \frac{-b}{a}}$$ $\;\; \; \; \displaystyle{\left(ax+b\;\; \mbox{es negativo si y s\'olo s\'i}\; x\;\; \mbox{es mayor que}\; \frac{-b}{a}\right)}$

En forma resumida podemos expresar este resultado en la"tabla" siguiente:
 

Ejemplo   

Para cada uno de los casos siguientes, use los resultados anteriores para determinar el intervalo en donde la expresión dada es positiva, y el intervalo en donde es negativa.

a.

$3x-2$

b.

$-2x+5$

c.

$-x-2$

d.

$x-3$

Solución

De acuerdo con los resultados anteriores se tiene:

a.

$3x-2$

i.

$${3x-2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}}$$ o sea:

$3x-2$ es positivo si y sólo sí $${x \in \;\left]\frac{2}{3}, +\infty \right[}$$

ii.

$${3x-2 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}}$$ o sea:

$3x-2$ es negativo si y sólo sí $${x \in \;\left]-\infty,\frac{2}{3} \right[}$$

En forma resumida se tiene:
 

b.

$-2x+5$

i.

$${-2x+5 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}}$$ o sea:

$-2x+5$ es positivo si y sólo sí $${x \in \;\left]-\infty, \frac{5}{2}\right[}$$

ii.

$${-2x+5 < 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{2}}$$ o sea:

$-2x+5$ es negativo si y sólo sí $${x \in \;\left]\frac{5}{2}, +\infty \right[}$$

En forma resumida se tiene:
 

c.

$-x-2$

i.

$-x-2 > 0 \Leftrightarrow x < -2$ o sea:

$-x-2$ es positivo si y sólo sí $x \in\; ]-\infty,-2 [$

ii.

$-x-2 < 0 \Leftrightarrow x >-2$ o sea:

$-x-2$ es negativo si y sólo sí $x \in \;]-2,+\infty[$

En forma resumida se tiene:

d.

$x-3$

i.

$x-3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$ o sea:

$x-3$ es positivo si y sólo sí $x \in\; ]3,+\infty[$

ii.

$x-3 < 0 \Leftrightarrow x < 3$ o sea:

$x-3$ es negativo si y sólo sí $x \in\; ]-\infty, 3[$

En forma resumida se tiene:

Ejercicios   

Para cada uno de los casos siguientes use los resultados anteriores para determinar el intervalo en donde la expresión dada es positiva, y el intervalo donde es negativa.

1.

$2x+9$

2.

$-3x+1$

3.

$-x+7$

4.

$\sqrt{3}\;x -11$

5.

$\pi x -8$

6.

$${\frac{-3}{2}x+13}$$

Ejemplo

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

a ) $(x+2)(x-3) < 0$	ch ) $(2x+5)(-x+1) > 0$
b ) $(x+4)(3x+2) > 0$	d ) $x(-x-7)(-5x+2) < 0$
c )	e ) $-x(x-7)(x+5) > 0$

Solución

a.)	$(x+2)(x-3) < 0$

Por los resultados anteriores podemos determinar los intervalos en los cuales cada uno de los factores $(x+2) \mbox{ y } (x-3)$, son positivos o negativos, lo cual se puede expresar en forma resumida en una tabla como la siguiente:

Los signos correspondientes al producto $(x+2)(x-3)$, se obtienen usando los signos de los factores $(x+2) \mbox{ y } (x-3)$ y la ley de signos para la multiplicación definida de $I\!\!R$, así obtenemos:

De esta última tabla puede observarse que el producto $(x+2)(x-3)$ es negativo si y solo si $x \in \, ]-2,3 [$ y por lo tanto el conjnto de solución la inecuación es:

$$S = ]-2\,,\,3 [$$

b.)	$(x+4)(3x+2) > 0$

 

En forma similar al caso anterior obtenemos la siguiente tabla:

Los signos correspondientes al producto $(x+4)(3x+2)$, se obtienen usando los signos de los factores $(x+4)\mbox{y}(3x+2)$ y la ley de signos para la multiplicación definida de $I\!\!R$, así obtenemos:

De esta tabla puede observarse que el producto es positivo si y solo si $x \in \left ]-\infty ,-4 \right [ \, \mbox{ o } \, x \in \left]{-2 \over \;\; 3}, -\infty \right [$ y por lo tanto el conjunto solución de la inecuación $(x+4)(3x+2) > 0$ es:

$\left ]-\infty,-4 \right[ \,\,\cup \,\, \left ]{-2 \over \; 3}, -\infty \right [$ o sea:

S = $\left ]-\infty ,-4 \,\right [ \,\,\cup \,\, \left ]{-2 \over\; \; 3}, -\infty\right [$

Nota:

En los ejemplos (a)y (b) anteriores se ha explicado la forma en que se han construido cada una de las tablas correspondientes y también la forma de determinar el conjunto solución de cada inecuación. En los ejemplos siguientes omitiremos la explicación en cuanto a la determinación del conjunto solución. El estudiante deberásaber justificar la construcción de dichas tablas, así como también el conjunto solución que se da:

c.)	$(3x+3)(2x+1) < 0$

$.^..$ S = $\left] -1, {-1\over \; \;2} \right[$

ch.)	$(2x+5)(-x+1) > 0$

 

 

$.^..$ S = $\left] {-5 \over \; \;2}, 1 \right[$

d.)	$x(-x-7)(-5x+2) < 0$

 

$.^..$ S = $\left] -\infty, 7 \right[ \,\,\cup\,\, \left ]0 , {2 \over 5} \right[$

e.)	$-x(x-7)(x+5) > 0$

En el ejemplo anterior hemos resuelto inecuaciones en las cuales se involucra alguno de los signos "$\,< \,$" o "$\,>\,$", en el ejemplo siguiente el objetivo es resolver inecuaciones en las que se involucre alguno de los signos "$\,\leq$" o "$\,\geq\,$"

Ejemplo

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

 

a)		ch)	$-5(-x+1)(-x-2)\geq 0$
b)	$(x-3)(x+2)\geq 0$	d )	$-2x(x+2)(x-2)\leq 0$
c)	$3(2-x)(x-3) \leq 0$	e)	$3x(5-x)(x+2) \geq 0$

Solución:

a.)

En forma similar a los ejercicios resueltos en el ejemplo anterior formamos la siguiente "tabla"

De aquí sabemos que:

1.	$(x+1)(x-2) < 0 \Longleftrightarrow x \in \,]-1,2[$
2.	$(x+1)(x+2) = x \in \, = -1 \,\,\mbox{ o }\,\, x = 2$

 

Por lo tanto: El conjunto solución de es $[\,-1,2 \,]$ o sea S = $[\,-1,2 \,]$

b.)	$(x-3)(x+2)\geq 0$

 

Una forma similar a los ejercicios resueltos en el ejemplo anterior formamos la siguiente "tabla"

De aquí sabemos que:

1.	$(x-3)(x+2)> 0 \Longleftrightarrow$
	$x \in ]-\infty, -2\;\; [ \mbox{ o } [\;\;3, +\infty\;[$$\mbox{ o sea }x \,\,\in\,\, ]-\infty, -2 \;\;[ \,\,\cup\,\, ]\;\;3, +\infty[$
2.	$(x-3)(x+2) =0 \Longleftrightarrow x = 3 \mbox{ o } x = -2$  Por lo tanto:
	El conjunto solución de $(x-3)(x+2)\geq 0$ es
	$]-\infty,-2\,\, ] \,\,\cup\,\,[\,\, 3, +\infty[ \mbox{ o sea: } S = ]-\infty, -2 \,\,] \,\,\cup\,\,[\,\,3, +\infty[$

Nota:

En las inecuaciones que resolveremos a continuación no especificaremos la forma en que se obtiene el conjunto solución para cada una de ellas, el estudiante deberá justificar estos resultados.

c.)

$3(2-x)(x-3) \leq 0$

Observación:
En esta inecuación, $3$ es un factor de la expresión $3(2-x)(x-3)$, es positivo y no depende del valor de la variable x.

ch.)

$-5(-x+1)(-x-2)\geq 0$

Observación:
En esta inecuación, $-5$ es un factor de la expresión $-5(-x+1)(-x-2)$, es negativo y no depende del valor de la variable x.

d.)	$-2x(x+2)(x-2)\leq 0$

 

e.)	$3x(5-x)(x+2) \geq 0$

 

Ejercicios

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1. $(x-1)(2x+1) < 0$   3. $(2x+3)(4x-1) \geq 0$   5. $(2x-1)(2x-1) \geq 0$ 7. $(1-3x)^2 \leq 0$   9. $3(2-x)(4-3x)(x+2) > 0$   11. $x^3(2x+7) < 0$

2. $6x(1-x) > 0$   4. $(5-7x)(x+2)(6x+1) \leq 0$   6. $(2x-1)^2 > 0$   8. $-2(x+2)(3-x)(5x+1) \geq 0$   10. ${-1\over2}(x-2)(x-2)(x+2) \leq 0$   12. $\sqrt{5}(2-3x)^3(x+5)^4 \leq 0$

 

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