Lic. Julio Rodríguez,  M.Sc. lcides Astorga

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 Inecuaciones cuadráticas

   Definición
  Sean a, b, c constantes reales tales que $a\neq 0$. Sea x una variable real. Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus miembros es una expresión de la forma $ ax^2 + bx + c\,\,$ y el otro miembro es cero.

Son inecuaciones cuadráticas:

    a.) $2x^2 + 2x +1 < 0$  c.) $2x^2 + 8 > 0$
    b.) $x^2 -5x + 6 \geq 0$   ch.) $3x^2 -27 \leq 0$

Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.

Caso 1:
Consideremos como caso $1$, aquel en el cual la expresión $ax^2 + bx +c $ es factorizable ( $\triangle \geq 0$). Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresión $ax^2 + bx +c $, para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores (por medio de una ``tabla de signos")
Recuerde que si la expresión $\,ax^2 + bx +c \,$ es factorizable entonces se cumple que:

$ax^2 + bx +c = a(x-x_1)(x-x_2)$

Ejemplo

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

 

a ) $x^2-2x -35 < 0 $ b ) $2x^2 -x -6 \geq 0 $
c ) $-3x^2+ x +2 > 0 $ d ) $-2x^2 +3x +2 \leq 0 $
e ) $x^2-4x \leq 0 $ f  ) $18x -2x^2 > 0 $
g ) $x^2 - 9 \geq 0 $ h ) $7 - x^2 < 0 $


Solución:


a.)   $x^2-2x -35 < 0 $
Para la expresión $x^2-2x -35 $ se tiene:
$ \triangle $ $ = $ $4 - 4(1)(-35)$
$ \triangle $ $ = $ $ 4 + 140$
$ \triangle $ $ = $ $ 144 $

$.^.. \, x^2-2x -35 $ es factorizable y además:

$ x_1 = {2+\sqrt{144}\over 2}$
$ \Longrightarrow x_1 = {14 \over 2}$

$ \Longrightarrow x_1 = 7 $

$ x_2 = {2 - \sqrt{144}\over 2}$

$ \Longrightarrow x_2 = {-10 \over\; \; 2}$

$ \Longrightarrow x_2 = -5 $

así:

$x^2-2x -35 = (x-7)(x+5) $

$.^.. \,\, x^2-2x -35 < 0 \Longleftrightarrow (x-7)(x+5) <0 $

Resolviendo esta última inecuación se tiene:

Por lo tanto el conjunto solución de $x^2-2x -35 < 0 $ es:

$]\;\;-5,7\;\;[$ , o sea :

b.)  $2x^2 -x -6 \geq 0 $

Para la expresión $2x^2 -x -6 $ se tiene:
$ \triangle $ $ = $ $ 1 - 4(2)(-6)$
$ \triangle $ $ = $ $ 1 + 48$
$ \triangle $ $ = $ $ 49 $

$.^.. \,2x^2 -x -6$ es factorizable y además: 

$ x_1 = {1+\sqrt{49}\over 4}$

$ \Longrightarrow x_1 = {8 \over 4}$

$ \Longrightarrow x_1 = 2 $

$ x_2 = {1 - \sqrt{49}\over 4}$

$ \Longrightarrow x_2 = {-6 \over \; \;4}$

$ \Longrightarrow x_2 = {-3\over \;\; 2} $

así:


$ 2x^2 -x -6 = 2(x-2)(x+{3\over 2}) $


Resolviendo esta última inecación se tiene:


Por lo tanto el conjunto solución de $2x^2 -x -6 \geq 0 $ es:

$ \left]-\infty, {-3 \over \; \;2}\right]\,\, \cup \,\, \left[\,2 , +\infty\, \right[; $ o sea:

$ S = \left]-\infty, {-3 \over\; \; 2}\right]\,\, \cup \,\, \left[\,2 , +\infty \,\right[$

c.) $-3x^2+ x +2 > 0 $

Para la expresión $-3x^2+ x +2 $ se tiene:
$ \triangle $ $ = $ $ 1 - 4(-3)(2)$
$ \triangle $ $ = $ $ 1 + 24$
$ \triangle $ $ = $ $ 25 $

$.^.. \,-3x^2+ x +2 $ es factorizable y además:

$ x_1 = {-1+\sqrt{25}\over -6}$

$ \Longrightarrow x_1 = {4 \over -6}$

$ \Longrightarrow x_1 = {-2 \over \; \;3} $

$ x_2 = {-1 - \sqrt{25}\over -6}$

$ \Longrightarrow x_2 = {-6 \over -6}$

$ \Longrightarrow x_2 = 1 $

así:

$ -3x^2+ x +2 = -3(x+{2\over 3})(x-1) $

$ .^.. \, -3x^2+ x +2 > 0 \Longleftrightarrow -3(x+{2 \over 3})(x-1) > 0 $

Resolviendo esta última inecuación se tiene:


Por lo que el conjunto solución de $-3x^2+ x +2 > 0 $ es:

$ \left]{-2\over\; \;3}, 1 \right]$ o sea:

$ S = \left]{-2 \over\; \; 3}, 1 \right]$

d.) $-2x^2 +3x +2 \leq 0 $
 

Para la expresión $-2x^2 +3x +2 $ se tiene:
$ \triangle $ $ = $ $ 9 - 4(-2)(2)$
$ \triangle $ $ = $ $ 9 + 12$
$ \triangle $ $ = $ $ 25 $

$.^.. \,-2x^2 +3x +2 $ es factorizable, además:

$ x_1 = {-3+\sqrt{25}\over -4}$

$ \Longrightarrow x_1 = {2 \over\; \; -4}$

$ \Longrightarrow x_1 = {-1 \over\; \; 2} $


$ x_2 = {-3 - \sqrt{25}\over -4}$

$ \Longrightarrow x_2 = {-8 \over -4}$

$ \Longrightarrow x_2 = 2 $

así:

$ -2x^2 +3x +2 = -2(x+{1\over 2})(x-2) $


Resolviendo esta última inecuación se tiene:


Por lo que el conjunto solución de $-2x^2 +3x +2 \leq 0 $ es:

$ \left]-\infty, {-1 \over\; \;3} \right]\,\, \cup\,\, \left[\,2, +\infty\, \right[$ o sea:

$ S = \left]-\infty, {-1 \over\; \;3} \right]\,\, \cup\,\, \left[\,2, +\infty \,\right[$

 

e.) $x^2-4x \leq 0 $
 

Factorizando $x^2-4x $ por factor común se tiene: $x^2-4x \leq 0 \Longleftrightarrow x(x-4)\leq 0$

Resolviendo esta inecuación:

 

 

Por lo que el conjunto solución de $x^2-4x \leq 0 $ es $[\,0,4\, ];$ o sea : S =

f.)
$18x -2x^2 > 0 $

Factorizando $18x -2x^2 $ por factor común se tiene: $18x -2x^2 > 0 \Longleftrightarrow 2x(9-x) > 0$

Resolviendo esta inecuación:

 

 

Por lo que el conjunto solución de $18x -2x^2 > 0 $ es
; o sea :

S = $\;\;]\,0,9\,[$

g.)
$x^2 - 9 \geq 0 $

Factorizando $x^2 - 9 \geq 0 $ por formula notable se tiene: $x^2 - 9 \geq 0 \Longleftrightarrow (x-3)(x+3)\geq 0$

Resolviendo esta inecuación:

 

 

Por lo que : $ S = ]-\infty ,-3[ \,\, \cup \,\, [3, +\infty [$

h.)
$7 - x^2 < 0 $

Factorizando $ 7 - x^2 $ por formula notable se tiene: $7 - x^2 < 0 \Longleftrightarrow (\sqrt{7}-x)(\sqrt{7}-x) < 0$

Resolviendo esta inecuación:

 

Por lo que : $ S = \left]-\infty ,-\sqrt{7} \right[ \,\, \cup \,\, \left[\sqrt{7}, +\infty \right [$

Caso 2:

Consideremos como Caso 2, aquel en el cual la expresión $\;ax^2 +bc +c \;$no es factorizable ($\triangle < 0 $). Para resolver estas inecuaciones usaremos el siguiente teorema:

 

   Teorema
 

Sean a, b, c, constantes reales y x una variable ral tales que $a \neq 0 \;\;$ y $\;\;b^2 -4ac < 0 \;\;(\;\; \triangle < 0\;\;)$, entonces se cumple que:

i. Si $a > 0$ entonces $ax^2 +bc +c > 0;\, \forall\;\; x \in I\!\!R $

ii. Si $a < 0$ entonces

Demostración:

Anteriormente se demostró que:

$ ax^2 +bc +c = a \left [ \left(x + {b\over 2a}\right)^2 - {\triangle \over 4a^2}\right]$; con $\triangle = b^2 -4ac $ y además si $\triangle < 0 $ entonces

$ \left [ \left(x + {b\over 2a}\right)^2 - {\triangle \over 4a^2}\right] > 0; \forall\;\; x \in I\!\!R $ y por lo tanto:

i.
Si $a > 0$ entonces o sea que :

si $a > 0$ entonces $ax^2 +bc +c > 0; \forall\;\; x \in I\!\!R $

ii.
Si $a < 0$ entonces o sea que :

si $a < 0$ entonces $ax^2 +bc +c < 0; \forall \;\;x \in I\!\!R $

Ejemplo

Usando el teorema anterior resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

    a.) $2x^2+x +3 > 0 $ b.) $-x^2 -x -1 \geq 0 $
    c.) $3x^2-5x+3 \leq 0 $ ch.) $-4x^2 +3x -5 < 0 $
    d.) $2x^2+ 6 \leq 0 $ e.) $-3x^2 - 5 > 0 $

Solución:

a.) $2x^2+x +3 > 0 $

En este caso, para la expresión $2x^2+x +3$; se tiene:

$a = 2\;$ y
$ \triangle $ $ = $ $1^2 - 4(2)(4)$
$ \triangle $ $ = $ $ 1 -24$
$ \triangle $ $ = $ $ -23 $

como $\triangle < 0 \mbox{ y } a > 0 , \mbox{ entonces } 2x^2+x +3 > 0; \,\, \forall \;\,x \in I\!\!R $

$.^..$ el conjunto solución de

$\,2x^2+x +3 > 0 \mbox{ es } \;\;I\!\!R$ o sea: S = $I\!\!R$

b.)  $-x^2 -x -1 \geq 0 $

En este caso, para la expresión $-x^2 -x -1$; se tiene:

$a = -1\;\;$ y

 
 
$ \triangle $ $ = $ $ (-1)^2 - 4(-1)(-1)$
$ \triangle $ $ = $ $ 1 - 4$
$ \triangle $ $ = $ $ -3 $

como $\triangle < 0 \mbox{ y } a > 0 , \mbox{ entonces }

$.^..$ el conjunto solución de

$-x^2 -x -1 \geq 0 $ es $\emptyset $ o sea: S = $\emptyset $

c.)  $3x^2-5x+3 \leq 0 $

En este caso, para la expresión $3x^2-5x+3 $; se tiene:
$a = 3\;\;$ y

$ \triangle $ $ = $ $ (-5)^2 - 4(3)(3)$
$ \triangle $ $ = $ $ 25 - 36$
$ \triangle $ $ = $ $ -11 $

como $\triangle < 0 \mbox{ y } a > 0 , \mbox{ entonces } 3x^2-5x+3 > 0; \,\, \forall \,x \in I\!\!R $

$.^..$ el conjunto solución de

$3x^2-5x+3 \leq 0 $ es $\emptyset $ o sea: S = $\emptyset $

ch.)$-4x^2 +3x -5 < 0 $

En este caso, para la expresión $-4x^2 +3x -5 $; se tiene:

$a = -4\;\;$ y
$ \triangle $ $ = $ $ (3)^2 - 4(-4)(-5)$
$ \triangle $ $ = $ $ 9 - 80$
$ \triangle $ $ = $ $ -71 $

como $\triangle < 0 \mbox{ y } a < 0 , \mbox{ entonces } -4x^2 +3x -5 < 0 ; \,\, \forall \,x \in I\!\!R $
$.^..$ el conjunto solución de

$-4x^2 +3x -5 < 0 $ es $I\!\!R$ o sea: S = $I\!\!R$

d.)$2x^2+ 6 \leq 0 $

En este caso, para la expresión $2x^2+ 6 $; se tiene:

$a = 2\,\,$ y

$ \triangle $ $ = $ $ 0 - 4(2)(6)$
$ \triangle $ $ = $ $ - 48$

como $\triangle < 0 \mbox{ y } a > 0 , \mbox{ entonces }

$.^..$ el conjunto solución de

$2x^2+ 6 \leq 0 $ es $\emptyset $ o sea: S = $\emptyset $

e.)$-3x^2 - 5 > 0 $

En este caso, para la expresión $ -3x^2 - 5 $; se tiene:

$a = -3\;\;$ y
$ \triangle $ $ = $ $ 0 - 4(-3)(-5)$
$ \triangle $ $ = $ $ - 60$

como $\triangle < 0 \mbox{ y } a < 0 , \mbox{ entonces }

$.^..$ el conjunto solución de

$-3x^2 - 5 > 0 $ es $\emptyset $ o sea: S = $\emptyset $

Ejercicio

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

    1. $2x^2-3x -2 < 0 $ 2. $x^2 +2x -8 \geq 0 $
    3. $-x^2+2x+3 \leq 0 $ 4. $x^2 +x +1 > 0 $
    5. $-2x^2 - 8 > 0 $ 6. $7x - 21x^2 \leq 0 $
    7. $3-x^2 \geq 0 $ 8. $-2x^2 +7x -3 \geq 0 $
    9. $-2x^2+3x-1 > 0 $ 10. $-4x^2 +x \geq 0 $
    11. $4x^2 + 4x +1 \leq 0 $ 12. $x^2 -2x +1 > 0 $
    13. $x^2 + 5x +4 \leq 0 $ 14. $-3x^2 +6x - 4 > 0 $

 

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