Lic. Julio Rodríguez,  M.Sc. lcides Astorga

  1 2 3 4 5 6 7 8

 

 

 

Inecuaciones polimoniales de grado mayor que $2$

 

	Definición
	Llamaremos inecuación polinomial de grado mayor que $2$, a toda inecuaición en la cual uno de sus miembros es un polinomio de grado mayor que $2$, y el otro miembro es cero.

Ejemplo

Son inecuaciones polinomiales de grado mayor que $2$ :

a. $x^3-4x^2 + x +6 \leq 0$	b. $2x^4- 4x^2 -6x -4 > 0$
c. $x^5 + 32 \geq 0$	ch. $x^3+ 2x^2 +x +2 < 0$

Para resolver inecuaciones polinomiales de grado mayor que $2$, frecuentemente es necesario factorizar el polinomio que es miembro de la ecuación. Una vez factorizado dicho polinomio se aplicará alguno de los métodos estudiados anteriormente para resolver inecuaciones.

Ejemplo

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

a.    $x^3-4x^2 + x +6 \leq 0$	b.
c. $-x^4 + 2x^2 +3x + 2 \geq 0$	ch. $x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x > 0$

Solución

a. $x^3-4x^2 + x +6 \leq 0$

Debemos tratar de factorizar el polinomio $x^3-4x^2 + x +6$.
Por división sintética se tiene que:

$x^3-4x^2 + x +6 = (x+1)(x^2+5x+6)$.
Ahora, factorizando $x^2+5x+6$ por fórmula general se tiene:

$x^2+5x+6 = (x-2)(x-3)$
Por lo que:

$x^3-4x^2 + x +6 = (x+1)(x-2)(x-3)$

Así tenemos que:
$x^3-4x^2 + x +6 \leq 0 \Longleftrightarrow (x+1)(x-2)(x-3) \leq 0$

Resolviendo ésta última:

Por lo que el conjunto solución de $x^3-4x^2 + x +6 \leq 0$ es:

$]-\infty , -1[ \,\,\cup \,\, [\,2 , 3\,]$; o sea:

S = $]-\infty , -1[ \,\,\cup \,\, [\,2 , 3\,]$

 

b. 

 

Factoricemos el polinomio ;
por división sintética se tiene que:

.

Ahora para $2x^2+2x+2$ tenemos que:

$\triangle$	$=$	$(2)^2 -4(2)(2)$
$\triangle$	$=$	$4 - 16$
$\triangle$	$=$	$-12$

Como $\triangle < 0$ entonces $2x^2+2x+2$ NO es factorizable, pero como $\triangle < 0$ y $a = 2$ (coeficiente de $x^2$)por el teorema anterior tenemos que:

$2x^2+2x+2 > 0; \forall x \in I\!\!R. \;\;$ O sea ,$2x^2+2x+2$ es positivo. $\forall \;\;x \in I\!\!R$.

Así tenemos que:

y podemos resolver esta inecuación de acuerdo con la información anterior así:

Por lo que el conjunto solución de es:
o sea:

S = $]2,+\infty [$

 

c. $-x^4 + 2x^2 +3x + 2 \geq 0$

 

Debemos factorizar el polinomio $-x^4 + 2x^2 +3x + 2$ aplicando división sintética se tiene que:

$-x^4 + 2x^2+3x + 2 = (x+1)(-x^3+x^2+x+2)$ (*).

y su vez

$-x^3+x^2+x+2= (x-2)(-x^2-x-1)$ (**)

y para $-x^2 -x -1$, tenemos:

$\triangle$	$=$	$(-1)^2 - 4(-1)(-1)$
$\triangle$	$=$	$1 - 4$
$\triangle$	$=$	$-3$

Como $\triangle < 0$, entonces $-x^2 -x -1$ no es factorizable, pero por el teorema anterior.

$-x^2-x-1 < 0 ; \forall\;\; x \in I\!\!R, \mbox{ o sea } -x^2-x-1$ es negativo, $\forall \;\;x \in I\!\!R$.
Así por (*) y (**)

$-x^4 + 2x^2 +3x + 2 = (x+1)(x-2)(-x^2-x-1)$
y por lo tanto:

$-x^4 + 2x^2 +3x + 2 \geq 0 \Longleftrightarrow (x+1)(x-2)(-x^2-x-1) \geq 0$

y por la imformación anterior podemos resolver esta inecuación así:

De aquí

S = $[-1,2]$

 

ch. $x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x > 0$

 

Factorizamos el polinomio $x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x$; por factor común:

$x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x = x(x^3-2x^2-4x+8)$(*)

Factorizando $x^3-2x^2-4x+8$; por división sintética:

$x^3-2x^2-4x+8 = (x-2)(x^2-4)$(**);

y factorizando $x^2-4$, por fórmula notable:

$x^2-4 = (x-2)(x+2)$.

Así de (**) se tiene que:

$x^3-2x^2-4x+8 = (x-2)(x-2)(x+2)$

y por (*) se tiene que:

$x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x = x(x-2)(x-2)(x+2)$y por lo tanto:

$x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x > 0 \Longleftrightarrow x(x-2)(x-2)(x+2) > 0\;\;$

De aquí:

S= $]-\infty, -2\;\;[\,\,\cup\,\,]\;\;0,2\;\;[\,\,\cup\,\,]\;\;2,+\infty[$

Ejercicio

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1. $x^3-12x +16 \geq 0$	2.
3. $x^3+ 2x^2 +x +2 < 0$	4. $2x^3 -7x^2 +4x -3 > 0$
5. $x^4 - 16 \leq 0$	6. $x^4 + 3x^2-4 \geq 0$
7. $2x^4-5x^3+4x^2-x > 0$	8. $x^4-2x^3 -3x^2 +8x -4 < 0$

Además de inecuaciones cuadráticas y de inecuaciones polinomiales de grado mayor que $2$, podemos resolver algunas otras inecuaciones que son reducibles a inecuaciones cuadràticas, o bien a inecuaciones polinomiales de grado mayor que $2$, aplicando las transformaciones estudiadas en este capitulo, y también las propiedades y algoritmos de las operaciones definidas en $I\!\!R$.

Ejemplo:

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

a.) $x^2+5x +4 \leq 2x+4$	b.) $4x^2+ 8x -5 > 5x-6$
c.) $x^4-1 \geq -x^4 + 1$	ch.) $x^3 -2x^2 +2 < x^2+x-1$

Solución:

a.)

	$x^2+5x +4$	$\leq$	$2x+4$
$\Longleftrightarrow$	$x^2+5x +4-2x-4$	$\leq$	$0$
$\Longleftrightarrow$	$x^2+3x$	$\leq$	$0$
$\Longleftrightarrow$	$x(x+3)$	$\leq$	$0$

De aquí:

S= $[-3,0]$

 

b.)

	$4x^2+ 8x -5$	$>$	$5x-6$
$\Longleftrightarrow$	$4x^2+ 8x -5 - 5x+6$	$>$	$0$
$\Longleftrightarrow$	$4x^2+ 3x +1$	$>$	$0$

Para $4x^2+ 3x +1$ se tiene:

$a = 4 \;\;$ y

$\triangle$	=	$(3)^2-4(4)(1)$
$\triangle$	=	$9-16$
$\triangle$	=	$-7$

Como $\triangle < 0 \mbox{ y } a > 0$, entonces:

$4x^2+ 3x +1 > 0; \forall x \in I\!\!R$
$.^.. \,\,S = I\!\!R$

 

Observe que $x^2+1$ no es factorizable y además es positivo $\forall x \in I\!\!R$

Por lo tanto el conjunto de solución de la inecuación (*), y por lo tanto de la inecuación original, es:

S= $]-\infty, -1]\,\,\cup\,\,[1,+\infty[$

 

ch.)

	$x^3 -2x^2 +2$	$<$	$x^2+x-1$
$\Longleftrightarrow$	$x^3 -2x^2 +2 - x^2-x+1$	$<$	$0$
$\Longleftrightarrow$	$x^3 -3x^2-x+3$	$<$	$0$ (*)

Factorizando $x^3 -3x^2-x+3$, por agrupación se tiene:

$x^3 -3x^2-x+3$	$=$	$(x^3 -3x^2)+(-x+3)$
	$=$	$x^2(x-3)-(x-3)$
	$=$	$(x-3)(x^2-1)$
	$=$

o sea: $x^3 -3x^2-x+3 = (x-3)(x-1)(x+1)$

volviendo a (*) obtenemos:

$x^3 -3x^2-x+3 < 0 \Longleftrightarrow (x-3)(x-1)(x+1)< 0$

 

 

Por lo que

S= $]-\infty, -1[\,\,\cup\,\,]1,+3[$

Ejercicio

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1.) $x^2-4 \leq x-2$	2.) $3x^2-4x+5 \geq x^2+5$
3.) $2x^3+x^2+1> -2x-2$	4.) $x^3-6 > 2x^2-3x$

Cidse - Revista virtual Matemática, Educación e Internet - ITCR