Lic. Julio Rodríguez,  M.Sc. lcides Astorga

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Inecuaciones en las que uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es cero (continuación).
 

       

d.

$\,\, \displaystyle{{x-5 \over x+3}} \,$ $ \leq $ $ \, \displaystyle{{2x+1 \over x+3}} $
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{x-5 \over x+3}-{2x+1 \over x+3}} \,$ $ \leq $ $0 \Longleftrightarrow$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{x-5-(2x+1)\over x+3 }}$ $\leq 0$ $\Longleftrightarrow $
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{x-5-2x-1\over x+3}} \,$ $\leq 0$ $\Longleftrightarrow $
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{-x-6\over x+3}}$ $ \leq $ $0; x \neq -3$



De aquí se tiene que:

S = $ \left]-\infty, -6\,\, \right]\,\,\cup\,\,\left]\,-3, +\infty \right[$

 

       

e.

 $\,\, \displaystyle{{3 \over 1-x}} \,$ $\geq$ $ \, \displaystyle{{x+6\over 2-x}} $
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3 \over 1-x}-{x+6\over 2-x}} \,$ $\geq$ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3(2-x)-(1-x)(x+6) \over(1-x)(2-x)}} \,$ $\geq$ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{6-3x-(x+6-x^2-6x) \over(1-x)(2-x)}} \,$ $\geq$ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{6-3x-x-6+x^2+6x \over(1-x)(2-x)}} \,$ $\geq$ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{x^2+2x \over(1-x)(2-x)}} \,$ $\geq$ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{x(x+2)\over (1-x)(2-x)}} \,$ $\geq$ $0; x \neq 1 \,\mbox{ y } x \neq 2$




De aquí se tiene que:

S = $ \left]-\infty, -2 \right]\,\,\cup\,\,\left[\,0,\,1 \right[\,\,\cup\,\,\left]\,2,\,+\infty \right[$

 

       

f.

 $\,\, \displaystyle{{3-x \over x-2}} \,$ $<$ $ \, \displaystyle{{x-5 \over 1-x}} $
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3-x \over x-2}-{x-5 \over 1-x}} \,$ $<$ $0\, $
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{(3-x)(1-x)-(x-5)(x-2) \over(x-2)(1-x)}} \,$ $<$ $0\, $
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3-3x-x + x^2-(x^2-2x-5x+10) \over(x-2)(1-x)}} \,$ $<$ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3-3x-x + x^2-x^2+2x+5x-10 \over(x-2)(1-x)}} \,$ $<$ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3x-7\over (x-2)(1-x)}} \,$ $<$ $ 0; x \neq 2 \,\mbox{ y } x \neq 1$





De aquí se tiene que:

S = $ \displaystyle{ \left]\,1,\, 2 \,\right[\,\,\cup\,\,\left]\,{7\over3},\,+\infty \right[}$

 
       

g.

 $ \,\, \displaystyle{{3x\over x^2-1}- {1 \over x^2-x}} \,$ $ \leq $ $ \, \displaystyle{{2x^2+1\over x^3-x}}$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3x\over x^2-1}- {1\over x^2-x}-{2x^2+1 \over x^3-x}} \, $ $ \leq $ $ \, 0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3x\over (x-1)(x+1)}- {1 \over x(x-1}-{2x^2+1 \over x(x^2-1)}} \,$ $ \leq $ $ \, 0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3x\over (x-1)(x+1)}- {1 \over x(x-1}-{2x^2+1 \over x(x-1)(x+1)}} \,$ $ \leq $ $ \, 0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{(3x)x - 1(x+1) -(2x^2+1)\over x(x-1)(x+1)}} \,$ $ \leq $ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{3x^2-x-1 -2x^2-1\over x(x-1)(x+1)}} \,$ $ \leq $ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{x^2-x-2\over x(x-1)(x+1)}} \,$ $ \leq $ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{(x-2)(x+1)\over x(x-1)(x+1)}} \,$ $ \leq $ $0$
       
$\Longleftrightarrow $ $ \displaystyle{{x-2\over x(x-1)}} \,$ $<$ $0; x \neq 0 \,\mbox{ y } x \neq 1 \mbox{ y } x \neq -1$






De aquí se tiene que:


$S = ]-\infty,-1[ \,\,\cup \,\, ]-1,0[\,\, \cup \,\,]1,2[$


Observe que es importante la restricción $x\neq -1$ a pesar de que el factor correspondiente fue simplificado.

 

h.      
$ \displaystyle{{6x\over x^{2}-4x+3}}$ $>$ $ \displaystyle{{2\over 12-4x}}$ $\Leftrightarrow$
       
$ \displaystyle{{6x\over x^{2}-4x+3}-{2\over 12-4x}}$ $>$ $0$ $\Leftrightarrow$
       

$ \displaystyle{{6x\over (x-3)(x-1)}-{2\over 4(3-x)}}$

 $>$ $0$ $\Leftrightarrow$
       
$ \displaystyle{{6x\over (x-3)(x-1)}-{2\over -4(x-3)}}$ $>$ $0$ $\Leftrightarrow$
       

$ \displaystyle{{6x(-4)-2(x-1)\over -4(x-3)(x-1)}}$

 $>$ $0$ $\Leftrightarrow$
       

$ \displaystyle{{-24x-2x+2\over-4(x-3)(x-1)}}$

 $>$ $0$ $\Leftrightarrow$
       

$ \displaystyle{{-26x+2\over-4(x-3)(x-1)}}$

 $>$ $0$ $x\neq 3, \,\, x\neq 1$




De aquí se tiene que:


$\displaystyle{S =\,\, \left]{1 \over 13},1\right[\,\,\cup\,\,]3,+\infty[}$

Ejercicios


Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones.


  1. $ \displaystyle{ {{x+1 \over x^{2}+3x} \geq {1 \over {x}}}}$
  2. $ \displaystyle{ {{x+3 \over {2}}-{2x-4 \over {3}} < {3x+2 \over {6}}}}$
  3. $\displaystyle{ {{5 \over {x-2}}+{x \over {1-x}} \leq {-7x+6 \over {(x-2)(1-x)}}}}$
  4. $ \displaystyle{ {{(x+7)x+10 \over {x+10}} > 0}}$
  5. $ \displaystyle{ {{9 \over {x+2}}<{21 \over {x+4}}-2}}$
  6. $ \displaystyle{ {{x-5 \over {1-x}}\leq{3-x \over {x-2}}}}$
  7. $ \displaystyle{{{2x^{2}-x \over {x^{2}-2x+1}}\geq{x \over {x-1}}}}$
  8. $ \displaystyle{ {{2x+1 \over {x(x-3)}}>{3 \over {x-3}}}}$
  9. $ \displaystyle{ {{x-5 \over {4-x}}\leq{3-x \over {x-2}}}}$
  10. $ \displaystyle{ {2-{x \over {x+3}}\geq{-x \over {2-x}}}}$
  11. $ \displaystyle{ {{1 \over {2-x}}>{x^{2} \over {-x^{2}+3x-2}}}}$
  12. $ \displaystyle{ {{(x-3)x-4 \over {x-4}}\leq{(x+2)x-2 \over {x-2}}}}$
  13. $ \displaystyle{ {{-x \over {x-2}}+{3 \over {x+2}} \leq {2-x \over {x^{2}-4}}}}$
  14. $ \displaystyle{ {{-x^{2} \over {4-x}} \geq {x^{3}-x+1 \over {(4-x)^{2}}}}}$

 

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