Lic. Julio Rodríguez,  M.Sc. Alcides Astorga

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Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto

Nuestro objetivo en este capítulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma $ax+b$, donde $a$ y $b$ son constantes reales con $a\neq0$, y $x$ es una variable real. Para esto conviene recordar la definición de valor absoluto, la cual  establece que:

 

   Definición
 

Para cada número real $x$, se define su valor absoluto y se denota $\vert x\vert$, de la siguiente manera:
 
a. $\vert x\vert = x\,\, \mbox {si}\,\, x \geq 0$    ó
   
b.   si  

Esta definición frecuentemente se denota de la siguiente manera:

 
\begin{displaymath}\vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} x & \mbox{ si } & x \geq 0\\ -x & \mbox{ si } & x < 0 \end{array} \right.\end{displaymath}

Aplicando esta definición o expresiones de la forma $ax+b$ se tiene:

 
\begin{displaymath}\vert ax+b\vert = \left\{\begin{array}{lcl} ax+b & \mbox{ si... ...\geq 0\\ -(ax+b) & \mbox{ si } & ax+b < 0 \end{array} \right.\end{displaymath}

Ejemplo

Usando la definición de valor absoluto se tiene: 

$\vert x+5\vert = \left\{\begin{array}{lcl} x+5 & \mbox{ si } & x+5 \geq 0\\ \\ \par -(x+5) & \mbox{ si } & x+5 < 0 \end{array} \right.$

$\mbox{pero:}$ $x+5\geq 0$ $\Leftrightarrow$ $x\geq -5$
       
$\mbox{y}$ $x+5<0$ $\Leftrightarrow$ $x<-5$

$.^..\vert x+5\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \,\,x+5 & \mbox{ si } & x \geq -5\\ \\ \par -(x+5) & \mbox{ si } & x < -5 \end{array} \right.$

Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta información en la tabla siguiente:


 

Ejemplo

$\vert x-7\vert = \left\{\begin{array}{lcl} x-7 & \mbox{ si } & x-7 \geq 0\\ \\ \par -(x-7) & \mbox{ si } & x-7 < 0 \end{array} \right.$

$\mbox{pero:}$ $x-7\geq 0$ $\Leftrightarrow$ $x\geq 7$
       
$\mbox{y}$ $x-7<0$ $\Leftrightarrow$ $x<7$

$.^..\vert x-7\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \,\,x-7 & \mbox{ si } & x \geq 7\\ \\ \par -(x-7) & \mbox{ si } & x < 7 \end{array} \right.$

y en forma resumida podemos escribir:


Ejemplo

$\vert-2x+3\vert = \left\{\begin{array}{lcl} \,\,-2x+3 & \mbox{ si } & -2x+3 \geq 0\\ \\ -(-2x+3) & \mbox{ si } & -2x+3 < 0 \end{array} \right.$

 

$\mbox{pero:}$ $-2x+3\geq 0$ $\Leftrightarrow$ $-2x\geq -3$, $\mbox{o sea}$ $x\leq {3\over{2}}$
           
$\mbox{y}$ $-2x+3<0$ $\Leftrightarrow$ $-2x<-3$, $\mbox{o sea}$ $x> {3\over{2}}$

$.^..\vert-2x+3\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -2x+3 & \mbox{ si } & {x \geq ... ...ver{2}}}\\ \\ -(-2x+3) & \mbox{ si } & {x < {3 \over{2}}} \end{array} \right.$
y en forma resumida podemos escribir:

 

Ejemplo

$\vert-3-5x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -3-5x & \mbox{ si } & -3-5x \geq 0\\ \\ \par -(-3-5x) & \mbox{ si } & -3-5x < 0 \end{array} \right.$

 

$\mbox{pero:}$ $-3-5x\geq 0$ $\Leftrightarrow$ $-5x\geq 3$, $\mbox{o sea}$ $x\leq {-3\over{5}}$
           
$\mbox{y}$ $-3-5x<0$ $\Leftrightarrow$ $-5x<3$, $\mbox{o sea}$ $x> {-3\over{5}}$

$.^..\vert-3-5x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -3-5x & \mbox{ si } & {x \geq ... ...5}}}\\ \\ \par -(-3-5x) & \mbox{ si } & {x < {-3 \over{5}}} \end{array}\right.$

y en forma resumida podemos escribir:


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