Lic. Julio Rodríguez,  M.Sc. Alcides Astorga

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  Propiedades del valor absoluto

Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.

Propiedad 1

$\forall x,\, x \in I\! \! R:\,\,\vert x\vert \geq 0$

Demostración


$x\, \in \, I\! \! R:\,\, \vert x\vert = \left\{\begin{array}{lcl} -x & \mbox{ si } & {x \geq 0}\\ \\ \par -x & \mbox{ si } & {x < 0} \end{array} \right.$


Hay dos posibles casos:
Caso 1: $x\geq0$


Caso 2: $x<0$

$x<0\,\,\Rightarrow\,\,\vert x\vert = -x .^..\vert x\vert\geq0; \mbox{ pues }x<0 \Rightarrow -x>0$


Propiedad 2

Si $x \in I\! \! R\mbox{ y }\vert x\vert = 0 \mbox{ entonces } x = 0$

Demostración:(ejercicio para el estudiante)


Propiedad 3

Si $x\, \in \, I\! \! R,\,y\, \in \, I\! \! R\mbox { entonces }\vert x*y\vert = \vert x\vert\,\vert y\vert$

Demostración

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

en particular:

$\vert a\vert = \sqrt{a^{2}};\,\, \forall a,\, a\, \in \, I\! \! R$

Usando esta definición se tiene que:

Propiedad 4

$\forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,\vert-x\vert = \vert x\vert$

Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Propiedad 5

Si entonces

Demostración

Aquí también usaremos el hecho de que:

$\forall a, a\, \in \, I\! \! R:\, \vert a\vert = \sqrt{a^{2}}$

Si $ x\, \in \, I\! \! R,\,y\, \in \, I\! \! R,\,y\neq0 \mbox{ entonces } {x\over{y}}\, \in \, I\! \! R$

  $ .^..{\left\vert x\over {y}\right\vert} = \sqrt{\left(x \over{y}\right)^{2}} = ... ...{2}} = {\sqrt{x^{2}}\over{\sqrt{y^{2}}}} = {\vert x\vert \over {\vert y\vert}}$

Propiedad 6

$ \forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,\vert x\vert^{2} = x^{2}$

Demostración

$ \forall x,\, x\, \in \, I\! \! R: \,$, se tiene que:


Propiedad 7

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo:

$ \vert x\vert = k\,\,\Leftrightarrow\,\,x = k\,\,\mbox{ \'{o} }\,\,x = -k$

Interpretación geométrica de esta propiedad

 

 
Demostración

Como

 $ \vert x\vert = \sqrt{x^{2}},\mbox{ se tiene: }$                     

 

$\vert x\vert$

 $=$ $k$
       
$\Leftrightarrow$ $ { \sqrt{x^2}}$ $=$ $k$
       
$\Leftrightarrow$ $=$ $k^2$
       
$\Leftrightarrow$ $x^2$ $=$ $k^2$
       
$\Leftrightarrow$ $x^2-k^2$ $=$ $0$
       
$\Leftrightarrow$ $(x-k)(x+k)$ $=$ $0$
       
$\Leftrightarrow$ $x=k$ $\mbox{ o }$ $x=-k$


$.^..\;\;\;\vert x\vert=k\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x=k \mbox{ o } x=-k$


Propiedad 8

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:

$ \vert x\vert < k\,\,\Leftrightarrow\,\,-k < x < k$ 
Demostración

Como $ \vert x\vert = \sqrt{x^{2}}$, se tiene:
  $\vert x\vert$ $<$ $k$
       
$\Leftrightarrow$ $ { \sqrt{x^2}}$ $<$ $k$
       
$\Leftrightarrow$ $<$ $k^2$
       
$\Leftrightarrow$ $x^2$ $<$ $k^2$
       
$\Leftrightarrow$ $x^2-k^2$ $<$ $0$
       
$\Leftrightarrow$ $(x-k)(x+k)$ $<$ $0$
 

Resolviendo esta inecuación:

De aquí se tiene:

Interpretación geométrica de esta propiedad:


Propiedad 9

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:

$ \vert x\vert > k\,\,\Leftrightarrow\,\,x > k\mbox{ o }x < -k$

Demostración
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.

Interpretación geométrica de esta propiedad:



Propiedad 10

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:
i.
   
ii.

Demostración


Un procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8.
Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.

Interpretación geométrica de esta propiedad:

i.

ii.


Propiedad 11

$\forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,-\vert x\vert \leq x \leq \vert x\vert$

Demostración

Sabemos que $ { \forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,\vert x\vert} = \left\{\begin{array}{lc... ... si } & {x \geq 0}\\ \\ \par -x & \mbox{ si } & {x < 0} \end{array} \right.\\ $

CASO 1:      $x\geq0$

              (*)


Además como  entonces $ { -\vert x\vert \leq 0}$ y como $x\geq0$ entonces: (**)
Así por (*) y (**) se tiene que:

  (I)

 

CASO 2:     $x<0$ 

 
$x<0$ $\Rightarrow$ $\;\;\;\vert x\vert$ $=$ $-x$  
           
  $\Rightarrow$ $-\vert x\vert$ $=$ $\;\;\;x$  
           
  $.^..$ $-\vert x\vert$ $\leq$ $\;\;\;x$ $(***)$

 

Además como $ x < 0\mbox{ y }\vert x\vert \geq 0$ entonces
(****)

Así por (***) y (****) se tiene que:

(II)

Por lo tanto de (I) y (II) se concluye que:

$\forall x,\, x\, \in \, I\! \! R:\,\,-\vert x\vert \leq x \leq \vert x\vert$


Propiedad 12 (desigualdad triangular)

Si $x\, \in \, I\! \! R,\,\mbox{ y }\, \in \, I\! \! R\mbox { entonces }\vert x + y\vert = \vert x\vert + \vert y\vert$
Demostración

Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:

LEMA:

Sean $ a \in I\! \! R,\,b \in I\! \! R,\,c \in I\! \! R,\,d \in I\! \! R$
Si $ a \leq b \mbox{ y }c \leq d\mbox{ entonces }{a+c} \leq {b+d}$

Demostración (del lema)

Supongamos que $ a \leq b \mbox{ y }c \leq d$, hay que demostrar que ${a+c} \leq {b+d}$

 
i. $ {a \leq b}\,\,\Rightarrow\,\,{a+c} \leq {b+c}$
   
ii. $ {c \leq d}\,\,\Rightarrow\,\,{b+c} \leq {b+d}$

por i. y ii. se tiene que ${a+c} \leq {b+d}$

Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades $ a \leq b \mbox{ y }c \leq d$ podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente:

 

Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.


Demostración de la desigualdad triangular

$ \forall x,\, x\, \in \, I\! \! R,\,\forall y,\, y\, \in \, I\! \! R$, se tiene que:

Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:

, por la propiedad (10. i)

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