1. Comprender el concepto de función.
2. Conocer el concepto de dominio, codominio y criterio de una función.


A continuación se  presentarán algunos   ejemplos exploratorios que nos permitirán revisar  el concepto  de función.


  

     Situación Exploratoria 1
   

Un ascensor muy particular se utiliza para transportar personas desde una planta baja hacia 10 pisos. En ningún piso, aparte de la planta baja (piso 1) pueden subir usuarios.

El ascensor parte de la planta baja con 10 pasajeros, cada uno de los cuales puede bajarse en cualquier piso; además, en cada piso puede pasar que no se baje ninguno de ellos o puede pasar que se baje el total de pasajeros que en ese momento lleva el ascensor.

Supongamos que el ascensor subió con los diez pasajeros y que las personas se bajaron de acuerdo a la tabla que sigue a continuación

 

  


Número de Piso Total de personas que se bajan
1 0
2 1
3 1
4 2
5 1
6 0
7 0
8 0
9 2
10 3

 

Si observamos detalladamente la tabla anterior, podemos notar algunas características:

  1. Cada piso tiene asociado el número de personas  que se bajan en él.

  2. Una piso tiene asignado un único número (que corresponde al total de personas que se bajan en él).

  3. Todas los pisos tienen asignado un número (que puede ser cero).

     

Vamos a introducir  un poco de notación  importante en  matemática. Eso si,  no debemos perder de vista que  aprender el  uso correcto  de esta notación es un proceso que requiere tiempo y  paciencia.

 

En el siguiente cuadro  brindaremos algunas propiedades  del ejemplo particular que nos ocupa. Para esos efectos $P=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$ y $R$ es el conjunto de los números de entre cero y diez, $R=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.

Vamos a escribir 

 "$\;a \;-\hspace{-0.2cm}-\hspace{-0.2cm}\rightarrow \;b\;$"

 para representar que en el piso $\,x\,$ bajaron $\,x\,$ personas

Lenguaje Natural Lenguaje Matemático (Ayuda)

"Para cada piso $x$, existe un  único número $\,x\,$ de personas que se bajaron en él"

"A cada  piso $x$, solo se le puede asociar un único  número de personas, si se le asocian dos números, éstos deber ser iguales"
 


Veremos ahora un ejemplo donde pueden aparecer números que no son necesariamente enteros.

 

     Situación Exploratoria 2
   

Suponga que se tiene un cuadrado de lado  $x$. Ya sabemos que el  área del cuadrado es A = x2. Para analizar la relación entre el área y la longitud del lado, consideremos la tabla que que está después de la figura

 

  

 

Medida $x$ del lado del cuadrado Área del cuadrado
1 1
2 4
5 25
1/2 1/4
3 9

 

En el ejemplo anterior también tenemos dos conjuntos, a saber: un conjunto, que denotaremos como , de  longitudes de los lados del cuadrado y un conjunto , que corresponden al área respectiva.

Se cumplen las siguientes condiciones:

  1. Todas las áreas van a depender de un valor específico: la longitud del lado $x$

  2. Cada longitud $x$ de un lado va a tener asociado  el área del cuadrado correspondiente.

  3. Una longitud $x$ de un lado, no puede tener asociado dos áreas distintas

Traduciendo esto a lenguaje matemático:

Lenguaje Natural Lenguaje Matemático (Ayuda)

"Cada longitud $x$ de un lado va a tener asociado  un único número, correspondiente al área del cuadrado correspondiente"

"Cada longitud $x$ de un lado, no puede tener asociado dos áreas distintas"


 

   Actividad 1
   

Esta actividad consiste en encontrar al menos una situación, como las anteriores, en las cuales se tiene un conjunto de partida digamos y un conjunto de llegada digamos , y una manera de relacionar los elementos del primero con los elementos del segundo, de manera que se cumpla:

  1. Cada elemento del conjunto esta obligatoriamente asociado con un elemento del conjunto .

  2. No puede ocurrir que un elemento del conjunto este asociado con dos elementos del conjunto .
  
     

 

 

Los dos ejemplos que examinamos en las situaciones exploratorias anteriores, nos han a permitido introducirnos en el concepto de función. Dicho de manera muy simple una función reglamenta o establece una manera de asociar elementos de 2 conjuntos; uno de esos conjuntos lo llamaremos: conjunto de partida o Dominio y el otro conjunto de llegada o Codominio.

Es decir, una función está compuesta por: un conjunto de partida o Dominio, otro conjunto de llegada o Codominio y una serie de asignaciones que son las que establecen como se asocian los elementos del Dominio con los elementos del Codominio.

Por ejemplo, en el caso del ascensor el dominio es el conjunto $P=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$ y el codominio $R$ es el conjunto de los números enteros entre cero y diez, $R=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.


En el caso del ejemplo del área, el dominio es $\mathbb{R}^+$, el conjunto de los reales positivos, pues cualquier número real positivo puede ser la longitud del lado del cuadrado, y el codominio es también el conjunto $\mathbb{R}^+$.

Es frecuente usar una notación especial para referirnos a funciones; esta notación debe reflejar que la función es una manera especial de relacionar los elementos de dos conjuntos. Es muy frecuente utilizar una notación como $f:A \longrightarrow B $, donde nos estamos refiriendo a una función que llamamos $f$, que tiene al conjunto $A$ como su Dominio y al conjunto $B$ como su Codominio.

 

A la manera en la que se relacionan los elementos del dominio con los del codominio la llamamos criterio y como veremos en los siguientes ejemplos existen varias formas de expresar los criterios.

 

Si volvemos al ejemplo del ascensor, el criterio está determinado por la tabla misma pues no hay una manera sistemática de saber cuantas personas se bajan en cada piso cada vez que el ascensor sube.

Si quisiéramos expresar esa función, para el caso particular que estudiamos más arriba, deberíamos escribir $f:P \;-\hspace{-0.2cm}-\hspace{-0.2cm}\rightarrow \;R $ donde $P=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$, $R=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ y el criterio $f(x)$ está dado por

 

$x$ $f(x)$
1 0
2 1
3 1
4 2
5 1
6 0
7 0
8 0
9 2
10 3

 

En el caso de la función de áreas descrita en el ejemplo dos es posible establecer un criterio de una manera sistemática, esto dado que si conocemos el lado de un cuadrado también conocemos el área, En este caso podemos escribir

\begin{displaymath}{f: \mathbb{R}^+ \;-\hspace{-0.2cm}-\hspace{-0.2cm}\rightarrow \;\mathbb{R}^+ \atop \; \; \; \; \; \;x \longmapsto x^2}\end{displaymath}

 

Ahora estamos listos para definir lo que es una función. Antes de establecer la definición, sería conveniente que volviéramos sobre los cuadros resumen al final de las situaciones exploratorias previas

 

 

Del análisis de estos dos casos podemos observar  que el concepto de función enlaza tres elementos. Un conjunto de partida que llamaremos dominio, un conjunto de llegada que llamaremos codominio y un manera de relacionar los elementos de estos conjuntos que llamaremos criterio. Además existen  condiciones que debe cumplir esta asociación. Procederemos ahora a definir formalmente lo que entenderemos por función.

 
   Definición
   

Una función es una relación entre dos conjuntos, que cumple dos condiciones:

  1. Todo elemento del conjunto de partida o Dominio está relacionado con un elemento en el conjunto de llegada o Codominio.
  2. No es posible que un elemento del conjunto de partida o dominio esté asociado con dos o más elementos del conjunto de llegada o codominio
  
     

 

Si escribimos esto en notación formal, tenemos que una función

$f:A \longrightarrow B $

es una manera de relacionar los elementos del conjunto $A$ con los elementos del conjunto $B$ que cumple: $ \forall x \in A tal que $f(x)=y$.

es una  manera de relacionar los elementos del conjunto A con los elementos del

 

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