Walter Mora F,  Geovanni Figueroa M.


Limites y continuidad

 

Mucha de la terminología relacionada con los límites fue introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno.

El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variables, pues en este, únicamente se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por la derecha o por las izquierda; mientras que en el caso de varias variables existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto $ (a,b)$, como lo muestra la figura 1.

Figura 1.


Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para funciones de $n$ variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo abierto de $\mathbb{R}$.

 

   Definición (Disco de radio $\delta$ y centro P)

Un disco $D(P,\delta)$ abierto, o simplemente un disco, de radio $delta>0$ y centro en $ P=(a,b)$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y$) tales que su distancia a $ (a,b)$ es menor que $\delta$, es decir

\begin{displaymath}D(P, \delta) = \left\{(x, y)\in \mathbb{R}^2 \; \mbox{tal que}\;\sqrt{(x - a)^2 + (y -b)^2} < \delta \right\} \; \; \; \; (1) \end{displaymath}

 



Observación: si en la definición (1) se cambia en < por un $\neq$ obtenemos un disco cerrado

 

   Definición (Límite de una función)

Sea $f : D((a, b), \delta) \, \subset \, \mathbb{R}^2 \;\longrightarrow\; \mathbb{R}$ una función de dos variables definida en el disco abierto $D((a, b), \delta)$, excepto posiblemente en $ (a,b)$. Entonces

\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (a, b)}{f(x, y)} = L\end{displaymath}

si y sólo si para cada $\epsilon > 0$ existe un correspondiente$delta>0$tal que

\begin{displaymath}\vert f(x, y) - L \vert < \epsilon , \; \; \mbox{siempre que} \; \; 0 < \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \delta \end{displaymath}
 



Observación : gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera $(x, y) \in \, D((a, b), \delta )$, el valor de$f(x, y)$ está entre $L + \epsilon \;$ y $\;L - \epsilon $, como se ilustra en la figura

 

Figura 2.

Como ya mencionamos, cuando escribimos que $(x, y)\;\rightarrow \; (a, b)$ entendemos que el punto $(x, y)$ se aproxima al punto $ (a,b)$ en cualquier dirección. Si el valor de


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (a, b)}{f(x, y)}\end{displaymath}

no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias de acercarnos a $ (a,b)$ , entonces el límite no existe. El siguiente ejemplo muestra esta situación.


Ejemplo 1

Compruebe que el siguiente límite no existe


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{xy}{x^2 + y^2}} \end{displaymath}

Solución

El dominio de esta función es $D = \mathbb{R}^2 - \{(0, 0)\}$. Para comprobar que le límite no existe, consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento al punto $(0, 0)$.

Sobre el eje $X$ ($y = 0$) cada punto es de la forma $(x, 0)$ y el límite en esta dirección es:


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{xy}{x^2 + y^2}}= \lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (x, 0)}{\frac{0}{x^2}}=0 \end{displaymath}

Sobre la trayectoria $y =x$ cada punto es de la forma $(x, x)$ y el límite en esta dirección es


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{xy}{x^2 + y^2}}= ... ..._{(x, y)\;\rightarrow \; (x, 0)}{\frac{x^2}{2x^2}}=\frac{1}{2} \end{displaymath}

Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en $(0, 0)$ existen puntos $(x, y)$ en los cuales $ f $ vale $1$ y $ 0$. Luego $ f $ no puede tener límite cuando $ (x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)$.

Observación : en el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes.Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite, no podemos concluir que el límite existe.Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple y requiere el uso de la definición misma, como muestra en siguiente ejemplo.


Ejemplo 2

Compruebe que


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{3x^2y}{x^2 + y^2}}= 0 \end{displaymath}

Solución

La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite de cero a través de muchas trayectorias esto no demuestre que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe.

Sea $\epsilon > 0$, queremos encontrar un $delta>0$tal que


\begin{displaymath}\left \vert \frac{3x^2y}{x^2 + y^2} -0\right \vert < \epsilon \; \mbox{ siempre que } \; 0 < \sqrt{x^2 +y^2} < \delta \end{displaymath}

es decir


\begin{displaymath}\frac{3x^2 \vert y \vert}{x^2 + y^2}< \epsilon \; \mbox{siempre que} \; 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \end{displaymath}

como


\begin{displaymath}\ \begin{array}{rcl} x^2 \,\leq \, x^2 + y^2 \; & \Longright... ...t = 3\sqrt{y^2}\leq 3\sqrt{x^2 + y^2}\\ & & \\ \end{array}% \end{displaymath}

Por consiguiente, si elegimos $\delta = \frac{\epsilon }{3}$, entonces


\begin{displaymath}\left\vert \frac{3x^2y}{x^2 + y^2} - 0 \right\vert \, \leq \,... ...leq \, 3\delta = 3\left( \frac{\epsilon }{3} \right) =\epsilon \end{displaymath}

Por consiguiente, por la definición


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{3x^2y}{x^2 + y^2}}= 0 \end{displaymath}

Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos y cocientes, que las funciones de una sola variable, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

Calcule los siguientes límites

 

1. \begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (1, 0)}{\frac{x+y}{x^2 + y^2}} \end{displaymath}
2. \begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (1, 1)}{\frac{x-y}{x^3 - y^3}} \end{displaymath}
3. \begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (4, 4)}{\frac{x-y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}} \end{displaymath}


Solución

1. Evaluamos directamente


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (1, 0)}{\frac{x+y}{x^2 + y^2}}= \frac{1+0}{1^2 + 0^2}=1 \end{displaymath}

2. Para este límite, factorizamos el denominador


\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle{\lim _{(x, y)\;\rightarrow... ...2 +xy+ y^2)}} } \\ & & \\ & = & \frac{1}{3} \\ \end{array}\end{displaymath}

3. Para este límite racionalizamos el denominador


\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle{\lim _{(x, y)\;\rightarrow... ...\rightarrow \; (4, 4)}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}=4 } \\ \end{array}\end{displaymath}
 


Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de límites. El siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el cálculo de un límite.


Ejemplo 4

Use coordenadas polares para comprobar que


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}} \end{displaymath}

Solución

Sean $(r, \theta) $ las coordenadas polares del punto $(x, y)$ . Entonces, como


\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} x & = & r \cos \theta \\ & & \\ y & = & r \,\mbox{sen}\theta \\ \end{array}\end{displaymath}

tenemos


\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \displaystyle{\lim _{(x, y)\;\rightarrow... ...ow \; 0}{r\,\mbox{sen}\theta \cos \theta} = 0 } \\ \end{array}\end{displaymath}

pues, $\vert\,\mbox{sen}\theta \cos \theta\vert\,\leq \,1$ para cualquier valor de $\theta$.


El siguiente ejemplo muestra una situación que podría llevarnos a pensar que el límite existe.

Ejemplo 5

Estudie la existencia del siguiente límite


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{x^3y}{x^6 + y^2}} \end{displaymath}

Solución

Si usamos trayectorias rectas que pasan por el origen $y =mx$, donde $m\neq 0$, tenemos


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{x^3y}{x^6 + y^2} ... ...tarrow \; (0, 0)}{\frac{x^3mx}{x^6 + (mx)^2} } =\frac{0}{m^2}=0\end{displaymath}

Ahora usemos como trayectorias las parábolas de la forma $y = m x^2$, con $m\neq 0$.


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{x^3y}{x^6 + y^2} ... ...ow \; (0, 0)}{\frac{x^3mx^2}{x^6 + (mx^2)^2} } =\frac{0}{m^2}=0\end{displaymath}

Esto nos podría llevar a concluir que el límite es cero, pues las rectas y parábolas que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias.Pero, observe que al usar la trayectoria $y = x^3$, obtenemos


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{x^3y}{x^6 + y^2} ... ...3)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{x^6}{x^6 + x^6} } =\frac{1}{2}\end{displaymath}

Por tanto, el límite no existe.


 

   Definición (Continudad en un punto)

Sea $f : R \, \subset \, \mathbb{R}^2 \;\longrightarrow\; \mathbb{R}$ una función de dos variables, sea $P = (a, b)\, \in \, R$ y sea $D(P, \delta )\, \subset \, R$ un disco abierto centrado en $P$ y de radio $\delta$, decimos que $ f $ es continua en $ P=(a,b)$ si

\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (a, b)}{f(x, y)}=f(a,b)\end{displaymath}

Decimos que $ f $ es continua en la región $R $ si es continua en cada punto de la región.

 



Observación : la segunda función del ejemplo 3 no es continua, pues $f(1,1)$ no existe, pero podemos hacerla continua redefiniendo $f(1,1)$ como $\frac{1}{3}$.

 

Usando las propiedades de los límites podemos obtener el siguiente teorema sobre la continuidad de la suma producto y cociente.

 

Ejemplo 6

Compruebe que la siguiente función es continua en $(0, 0)$.


\begin{displaymath}f(x,y)=\left\{\begin{array}{rcl} \displaystyle{\frac{3xy}{x+... ...0) \\ & & \\ 0& \mbox{ si } & x=y=0 \\ \end{array}\right. \end{displaymath}

Solución

Del ejemplo 2 tenemos que


\begin{displaymath}\lim _{(x, y)\;\rightarrow \; (0, 0)}{\frac{3x^2y}{x^2 + y^2}}= 0=f(0,0) \end{displaymath}

por lo cual, la función $ f $ es continua en$(0, 0)$. La gráfica de la función se muestra en la figura

 

Figura 3.


Observación : los ejes en la figura 3 se han variado un poco con respecto a la forma usual en la que los hemos estado usando con el propósito de que la superficie se pueda apreciar mejor.


Ejemplo 7

Considere la función $ f $


\begin{displaymath}f(x, y) = \frac{2xy}{x - y^2}\end{displaymath}

¿ Dónde es continua la función $ f $?

Solución

Observe que la función no esta definida para los puntos $(x, y)\, \in\, \mathbb{R}^2$ en donde $x = y^2$, por lo tanto es discontinua en dichos puntos.Es decir, es continua en :


\begin{displaymath}D = \{(x, y)\, \in\, \mathbb{R}^2 \; \mbox{con }\; \,x \neq \, y^2\}\end{displaymath}

En la figura se muestra la región en la cual $ f $ es continua.

Figura 4.

 

   Teorema (Operaciones con funciones continuas)

Si $f : D\, \subset \, \mathbb{R}^2\;\longrightarrow\; \mathbb{R}$es una función de dos variables continua en $(a, b)\in D$ y sea $g : \mathbb{R}\;\longrightarrow\; \mathbb{R}$ una función de una sola variable, entonces la composición de funciones $h = gof$, definida por $h(x, y) = g(f(x, y))$ es continua en $ (a,b)$

.

Ejemplo 8

Considere la función $ f $


\begin{displaymath}f(x, y) = \ln\left(x^2 + y^2 - 1 \right)\end{displaymath}

¿ Dónde es continua $ f $?

Solución

Si $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ y $g(t) = \ln(t)$, entonces


\begin{displaymath}g(f(x, y)) = g(x^2 + y^2 - 1) = \ln(x^2 + y^2 - 1) = h(x, y)\end{displaymath}

de modo que $h = gof$. Por otro lado, $ f $ es un polinomio y es continua en todo $\mathbb{R}^2$, y $g$ es continua para $t > 0$. Por lo tanto, $h$ será continua en

\begin{displaymath}D = \{(x, y)\, \in \, \mathbb{R}^2 \; \mbox{ tal que }\; x^2 + y^2 > 1\}\end{displaymath}

que corresponde al exterior del círculo $x^2 + y^2 =1$, en la figura 5 se muestra esta región.


Figura 5.

 

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